1. Pengertian Polinomial 

Polinomial atau suku banyak merupakan bentuk suku-suku yang banyak nyaterhingga dan tersusun atas variabel atau konstanta. operasi yang berlaku pada polinomial hanyalah penjumlahan, pengurangan dan perkalian, serta pangkat bilangan bulat bukan negatif.

Di dalam polinomial dikenal beberapa istilah seperti suku, variabel, koefisien, konstanta dan pangkat tertinggi.

 Contoh polinomial : 
* 5x⁴ + 4x³ - 4x² + x - 2
* 8x² - 4x + 4
* 4x³ + 6x² - 5x + 7
 Contoh bukan polinomial : 
* 3/4 + x² - 6x + 4x²
* 9x² - 5x³ + x
* 5x³ - 3x² + 7/9 + x²

2. Penjumlahan, Pengurangan dan Perkalian Polinomial

Diketahui suku banyak f(x) dan g(x) sebagai berikut

f(x) = 2x³ - x² + 5x - 10

g(x) = 3x² - 2x + 8

Tentukan :

a) f(x) + g(x)

b) f(x) - g(x)

c) f(x) x g(x)

Penyelesaian

a) f(x) + g(x) = (2x³ - x² + 5x - 10) + (3x² - 2x + 8)

                    = 2x³ - x² + 3x² + 5x - 2x - 10 + 8

                    = 2x³ + 2x² + 3x - 2

b) f(x) + g(x) = (2x³ - x² + 5x - 10) - (3x² - 2x + 8)

                     = 2x³ - x² - 3x² + 5x + 2x - 10 - 8

                     = 2x³ - 4x²  + 7x - 18

c) f(x) x g(x) = (2x³ - x² + 5x - 10) × (3x² - 2x + 8)

              = 2x³(3x² - 2x + 8) - x²(3x² - 2x + 8) + 5x(3x² - 2x + 8) - 10(3x² - 2x + 8)

              = 2x⁵ - 4x⁴ + 16x³ - 3x⁴ + 2x³ - 8x²  + 15x³ - 10x² + 40x - 30x² + 20x - 80

              = 2x⁵ - 7x⁴ + 33x³ - 48x² + 60x - 80

3. Nilai Polinomial

4. Pembagian Polinomial

Dengan Cara Bersusun

5. Teorema Sisa

Teorema Sisa 1

Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk linear (x – k), kita dapatmenggunakan teorema sisa Jika suku banyak f(x) dibagi (x – k), maka sisa pembagiannya adalah f(k).

Dalam penerapanya kita dapat menggunakan cara substitusi atau cara horner. Dalam bahasan kali ini akan dibahas dengan cara substitusi saja. 

Untuk lebih memahami penggunaan teorema sisa 1 perhatikan contoh berikut

Contoh 1

Tentukanlah sisa pembagian suku banyak x4+ x2– 16 dibagi (x + 1)

Penyelesaian

f(x) = x4+ x2-16

f(-1) = (-1)4+ (-1)2– 16

= 1 + 1 – 16

= -14

Jadi, sisa pembagiannya adalah -14

Teorema Sisa 2

Teorema sisa 2 ini, menyangkut pembagian suku banyak dengan bentuk (ax + b) yaitu:

Jika suku banyak f(x) dibagi (ax + b), maka sisa pembagiannya adalah f(-b/a)

Untuk lebih memahami mengenai penggunaan teorema diatas, perhatikanlah contoh soal berikut ini.

Contoh 2 :

Tentukanlah sisa pembagian suku banyak 2x3+ 7x2– 5x+ 4 dibagi (2x + 1)

Penyelesaian :

f(x) = 2x3+ 7x2– 5x + 4f(-1/2) = 2(-1/2)3+ 7(-1/2)2– 5(-1/2) + 4= (-1/4) + (7/4) + (5/2) + 4= 8

Jadi, sisa pembagiannya adalah 8

Teorema Sisa 3

Dalam menentukan sisa pembagian suku banyak oleh bentuk kuadrat, kita dapat menggunakan teorema sisa berikut ini.

Jika suatu suku banyak f(x) dibagi (x – a)(x – b),

 maka sisanya adalah px + q di mana f(a) = pa + q dan f(b) = pb +q.

Untuk lebih memahami mengenai penggunaan teorema tersebut, perhatikanlah contoh soal berikut ini.

Contoh 3 

Tentukanlah sisa pembagian suku banyak x4+ x3– 2x2+ x + 5 dibagi (x2 + x – 6).

Penyelesaian

Bentuk x2+ x – 6 dapat difaktorkan menjadix2+ x – 6 = (x + 3)(x – 2) 

Sehingga nilai a = -3 dan b = 2

f(a) = pa + q

(-3)4+ (-3)3– 2(-3)2+ (-3) + 5 = p(-3) + q81 – 27 – 18 – 3 + 5 = -3p + q38 = -3p + q-3p + q = 38….1)

f(b) = pb + q

(2)4+ (2)3– 2(2)2+ 2 + 5 = p(2) + q16 + 8 – 8 + 2 + 5 = 2p + q23 = 2p + q2p + q = 23 …..2)

Dengan menggunakan tehnik gabungan (eliminasi substitusi) dari 1) dan 2) didapat nilai p dan nilai qp = -3 dan q = 29 Jadi, sisa pembagiannya adalah -3x + 29

Cara lain yang dapat digunakan untuk menentukan nilaip dan q adalah dengan menggunakan rumus 

Sebagai contoh, kita akan menggunakan contoh 3

Sehingga hasil yang didapatkan sama yaitu -3x + 29

6. Teorema Faktor

Mencari penyelesaian persamaan suku banyak sama halnya dengan menentukan akar-akar persamaan yang memenuhi f(x) = 0. 

Kita dapat menyelesaikan persamaan suku banyak dengan menentukan faktor linear.

Jika f(x) suatu banyak, maka (x – k) merupakan faktor dari f(x) jika danhanya jika k akar persamaan f(x) = 0

Untuk lebih memahami tentang persamaan suku banyak dan penyelesaiannya, silahkan perhatikan contoh soal berikut.

Contoh 4: 

Tentukanlah faktor-faktor dari suku banyak  x3+ 4x2+ x – 6 = 0

Penyelesaian :

Misalkan (x – k) merupakan faktor dari f(x) = x3+ 4x2+x – 6 = 0, 

maka nilai k yang mungkin adalah faktor dari -6, yaitu±1,±2,±3 dan±6

Kemudian, dicoba nilai-nilai tersebut misalkan x = 1 (pembagi (x - 1)), 

dengan cara horner diperoleh

Karena sisanya 0, maka (x - 1) merupakan salah satu faktornya, dan faktor yang lain adalah hasil baginya, yaitux3+ 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)

Jadi, 

faktor dari suku banyak x3+ 4x2+ x – 6 = 0 adalah x3+ 4x2+ x – 6 = (x - 1)(x + 2)(x + 3)